¨MATEMATICA AVANZADA¨: SEMANA 2

SEMANA 2

Definimos la exponencial compleja de un número z D x C i y como:

f(z) = e^z z = x + iy

f(z) = e^x+iy= e^x. e^iy

TEOREMA DE EULER

e^iy = (cos y + i sen y)

f(z) = e^x (cos y + i sen y)

PROPIEDADES

1. e^z es analítica

2. e^z. e^w= e^z+w ; ∀ z,w ∈ C

3. e^z ≠ 0 ∀ z ∈ C

4. e^-z= 1/e^z, ∀ z ∈ C

5. e^z/e^w= e^z-w

6. Si x ∈ ℝ -> |e^ix| = 1

7. e^z = 1 <-> z = 2πki ; k ∈ z

8. e^z= e^w <-> z = w + 2πki

PROPIEDADES

1. e^{log z}= z

2. log z + log w = log(zw) ∀ z,w ∈ C

3. log z – log w = log(z/w) ∀ z,w ∈ C

4. log z^α = α log z ; α ∈ C

5. Z^w= e^{w log z}

FUNCION TRIGONOMETRICA

INTEGRAL COMPLEJA

Como siempre, luego de definir la derivada, construimos el concepto de integral a partir de la suma de Riemann. Esto es:

PROPIEDADES

La integración compleja tendrá las propiedades acostumbradas :

CURVAS SUAVES E INTERVALOS

una curva γ en el plano complejo es el conjunto de puntos (x,y) tal que

desde a<t<b

teniendo γ =Z(t)=x(t)+iy(t)

INTEGRALES DE LINEA

PROPIEDADES

PROPIEDAD 1

Sean I = [a, b], γ: I −→ C un camino regular a trozos, f, g: γ(I) −→ C continuas. λ, µ ∈ C. Entonces, a) Para todos λ, µ ∈ C,

PROPIEDAD 2

Sean I = [a, b], A un subconjunto abierto de C y f una funci´on anal´ıtica en A. Si γ: I −→ C es un camino regular a trozos tal que γ(I) ⊆ A entonces :

LOGITUD DE UNA CURVA

INTEGRALES CERRADAS

para que se diga que es una integral cerrada, la unica condicion adicional es que la curva suave sea una cuerva cerrada.

PROPIEDADES

INTEGRAL DE CAUCHY

Sea f(z) una funcion holomorfa en un ´ dominio Ω ⊂ C que contiene el contorno cerrado simple orientado positivamente γ y su interior. Si a es un punto del interior de γ, entonces

Como f es continua en a, para cada ǫ > 0 habra un entorno ´ D(a, δ) tal que si z ∈ D(a, δ), entonces |f(z) − f(a)| < ǫ. Tomemos ahora un 0 < ρ < δ tal que la circunferencia C = {z ∈ C : |z − a| = ρ}

este contenida ıntegramente en el interior de γ. Como f(z)/(z − a) es holomorfa en γ, C y entre ambos contornos