¨MATEMATICA AVANZADA¨: SEMANA 1

SEMANA 1

Empezamos este curso con gran animo y optimismo, con indicaciones generales y temas establecidos.

Primera Semana

Todo numero real es un numero complejo
existen numeros complejos que no son reales

Un Numero Complejo es una expresión del tipo z = x + yi

Si y = 0 el número complejo se reduce a un número real ya que x + 0i = x.

Si x = 0 el número complejo se reduce a yi, y se dice que es un número imaginario puro.

El conjunto de todos números complejos se designa por

Forma binómica.

tenemos:

Cuando no hay parte imaginaria, como en este caso, se dice que el complejo es real. Entonces los Numeros Reales forman parte del conjunto de los Números Complejos.

Cuando un numero complejo no tiene parte real, como en el presente caso, se dice que es un imaginario puro.

NUMEROS COMPLEJOS IGUALES

Dos números complejos z1 = a + bi y z2 = c + di son iguales sı y solo si a = c y b = d. En otras palabras, dos números complejos son iguales cuando sus componentes respectivas, real e imaginaria, son iguales.

SUMA DE COMPLEJOS

Sean z1 = X1 + Y1i y z2 = X2 + Y2i dos numero ´ s complejos. Entonces la suma de z1 con z2, denotada por z1 + z2 es el numero ´ complejo

z1 + z2 = (X1 + X2) + (Y1 + Y2)i

Ejemplo. Para sumar z1 = 3 + 2i con z2 = −8 + 4i hacemos

z1 + z2 = (3 + 2i) + (−8 + 4i) = (3 − 8) + (2 + 4)i

z1 + z2 = −5 + 6i

PROPIEDADES

Z + (W + U) = (Z + W) + U
Z + U = U + Z
Z + 0 = (x + yi) + (0 + 0i) = (x + 0) + (y + 0)i = x + yi = Z
Z + (−Z) = (−Z) + Z = 0

PRODUCTO
tenemos:
Sean Z = a + bi y W = c + di definimos su producto, mediante la f´ormula
Z · W = (ac − bd) + (ad + bc)i
(a + bi)(c + di) = ac + adi + bic + bdi^2

CONJUGADO
Definición = x+ yi es un numero ´ complejo, entonces el Conjugado de Z, denotado por Z, es otro numero ´ complejo definido por

Ejemplo. Si Z = 2 + 9i, su conjugado es Z = 2 − 9i

DIVISION

Si Z y W son dos numero ´ s complejos, y W 6= 0, podemos hacer la division de Zentre W de la forma siguiente Z

Z W = Z W · W W = Z · W |W| 2

Si hacemos Z = x+yi y W = c + di, tendremos Z W = (ac + bd) + (bc − ad)i a^+b 2

FORMA POLAR

Otra forma de expresar un número complejo es la forma polar o forma módulo-argumento,

donde

es el módulo de

, y donde q es un argumento de

, esto es, q es un ángulo tal que

FORMA EXPONENCIAL

donde

es el módulo de

, y donde q es un argumento de

, esto es, q es un ángulo tal que

POTENCIAS Y RAICES

Todo numero complejo tiene exactamente n raíces n-esimas. Ası por ejemplo 1 tiene 4 raíces cuartas, pues:

1 4 = i 4 = (−i) 4 = (−1) 4 = 1

FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA

Sea S un conjunto de números complejos. Una función f de variable compleja definida en S es una regla que asigna a cada número complejo z = x + iy de S, algún número complejo w = u + iv.

El número complejo w se llama valor de f en z y se denota por f(z), es decir w = f(z), (2.1) y el conjunto S donde está definida la función f(z) se llama dominio de f.

Dado que z y w son números complejos, relacionados por la función f, es posible escribir w = f(z) u + iv = f(x + iy) donde hemos considerado que w = u + iv y z = x + iy. Lo anterior permite expresar a la función de variable compleja f(z) como la suma f(z) = f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y)

f(z) = Re(f(z)) + i Im(f(z)) = u(z) + iv(z)

Como C = IR2 , una función compleja lleva asociada una función f: A ⊆ IR2 −→ IR2 donde f(x, y) = f(x + iy) y que tiene por componentes, f = (u, v), las funciones u(x, y) = u(x + iy) y v(x, y) = v(x + iy). As´ı pues, toda función compleja de variable compleja equivale a un par de funciones reales de dos variables reales

REPRESENTACIONES GRAFICAS

El dominio de f(z) es todo el plano complejo o una region
El recorrido o rango de f(z) es una parte o todo el plano complejo
Se evidencia la necesidad de graficar f(z) en R^n, pero esta no es posible

LIMITES DE UNA FUNCION DE VARIABLE COMPLEJA

Para cada n´umero real ε > 0 existe un n´umero real δ > 0 tal que si 0 < |z − z0| < δ , entonces |f(z) − l| < ε.

f ∈ C/a := ∀ ǫ > 0 , ∃ δ > 0 : ∀ z ∈ {z : |z − a| < δ} ∩ D =⇒ |f(z) − f(a)| < ǫ